解题思路： ​

例如，输入集合 ${3, 4, 5}$ 和目标整数 $9$ ，解为 ${3, 3, 3}, {4, 5}$ 。需要注意两点：

• 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
• 子集是不区分元素顺序的，比如 ${4, 5}$ 和 ${5, 4}$ 是同一个子集。

向「全排列」代码输入数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ ，输出结果为 $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$ 。虽然成功找出了所有和为 $9$ 的子集，但其中存在重复的子集 $[4, 5]$ 和 $[5, 4]$ 。

这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如下图所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两个不同的分支，但两者对应同一个子集。

为了去除重复子集，一种直接的思路是对结果列表进行去重。但这个方法效率很低，因为：

• 当数组元素较多，尤其是当 target 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
• 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。

重复子集剪枝： ​

我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，具体来看：

1. 第一轮和第二轮分别选择 $3$ , $4$ ，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \cdots]$ 。
2. 若第一轮选择 $4$ ，则第二轮应该跳过 $3$ ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \cdots]$ 和 1. 中生成的子集完全重复。

分支越靠右，需要排除的分支也越多，例如：

1. 前两轮选择 $3$ , $5$ ，生成子集 $[3, 5, \cdots]$ 。
2. 前两轮选择 $4$ , $5$ ，生成子集 $[4, 5, \cdots]$ 。
3. 若第一轮选择 $5$ ，则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$ ，因为子集 $[5, 3, \cdots]$ 和子集 $[5, 4, \cdots]$ 和 1. , 2. 中生成的子集完全重复。

总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ ，不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝。

代码： ​

为实现该剪枝，我们初始化变量 start ，用于指示遍历起点。当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历。这样做就可以让选择序列满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ ，从而保证子集唯一。

除此之外，我们还对代码进行了两项优化：

• 在开启搜索前，先将数组 nums 排序。在遍历所有选择时，当子集和超过 target 时直接结束循环，因为后边的元素更大，其子集和都一定会超过 target 。
• 省去元素和变量 total，通过在 target 上执行减法来统计元素和，当 target 等于 $0$ 时记录解。

class Solution {
    void backtrack(List<Integer> state, int target, int[] choices, int start, List<List<Integer>> res) {
        // 子集和等于 target 时，记录解
        if (target == 0) {
            res.add(new ArrayList<>(state));
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
        for (int i = start; i < choices.length; i++) {
            // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
            // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
            if (target - choices[i] < 0) {
                break;
            }
            // 尝试：做出选择，更新 target, start
            state.add(choices[i]);
            // 进行下一轮选择
            backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            state.remove(state.size() - 1);
        }
    }

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
        Arrays.sort(candidates); // 对 candidates 进行排序
        int start = 0; // 遍历起始点
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
        backtrack(state, target, candidates, start, res);
        return res;
    }
}

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        vector<int> state;              // 状态（子集）
        sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 对 candidates 进行排序
        int start = 0;                  // 遍历起始点
        vector<vector<int>> res;        // 结果列表（子集列表）
        backtrack(state, target, candidates, start, res);
        return res;
    }
private:
    void backtrack(vector<int> &state, int target, vector<int> &choices, int start, vector<vector<int>> &res) {
        // 子集和等于 target 时，记录解
        if (target == 0) {
            res.push_back(state);
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        // 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
        for (int i = start; i < choices.size(); i++) {
            // 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
            // 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
            if (target - choices[i] < 0) {
                break;
            }
            // 尝试：做出选择，更新 target, start
            state.push_back(choices[i]);
            // 进行下一轮选择
            backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
            // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
            state.pop_back();
        }
    }
};

class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        def backtrack(
            state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
        ):
            """回溯算法：子集和 I"""
            # 子集和等于 target 时，记录解
            if target == 0:
                res.append(list(state))
                return
            # 遍历所有选择
            # 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
            for i in range(start, len(choices)):
                # 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
                # 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
                if target - choices[i] < 0:
                    break
                # 尝试：做出选择，更新 target, start
                state.append(choices[i])
                # 进行下一轮选择
                backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res)
                # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                state.pop()

        state = []  # 状态（子集）
        candidates.sort()  # 对 candidates 进行排序
        start = 0  # 遍历起始点
        res = []  # 结果列表（子集列表）
        backtrack(state, target, candidates, start, res)
        return res

如下图所示，为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入到以上代码后的整体回溯过程。