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解题思路:

若使用暴力法遍历矩阵 matrix ,则时间复杂度为 $O(NM)$ 。暴力法未利用矩阵 “从上到下递增、从左到右递增” 的特点,显然不是最优解法。

如下图所示,我们将矩阵逆时针旋转 45° ,并将其转化为图形式,发现其类似于 二叉搜索树 ,即对于每个元素,其左分支元素更小、右分支元素更大。因此,通过从 “根节点” 开始搜索,遇到比 target 大的元素就向左,反之向右,即可找到目标值 target

Picture1.png

“根节点” 对应的是矩阵的 “左下角” 和 “右上角” 元素,本文称之为 标志数 ,以 matrix 中的 左下角元素 为标志数 flag ,则有:

  1. flag > target ,则 target 一定在 flag 所在 行的上方 ,即 flag 所在行可被消去。
  2. flag < target ,则 target 一定在 flag 所在 列的右方 ,即 flag 所在列可被消去。

算法流程:

  1. 从矩阵 matrix 左下角元素(索引设为 (i, j) )开始遍历,并与目标值对比:
    • matrix[i][j] > target 时,执行 i-- ,即消去第 i 行元素。
    • matrix[i][j] < target 时,执行 j++ ,即消去第 j 列元素。
    • matrix[i][j] = target 时,返回 $true$ ,代表找到目标值。
  2. 若行索引或列索引越界,则代表矩阵中无目标值,返回 $false$ 。

每轮 ij 移动后,相当于生成了“消去一行(列)的新矩阵”, 索引(i,j) 指向新矩阵的左下角元素(标志数),因此可重复使用以上性质消去行(列)。

<Picture2.png,Picture3.png,Picture4.png,Picture5.png,Picture6.png,Picture7.png>

代码:

Python
class Solution:
    def searchMatrix(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
        i, j = len(matrix) - 1, 0
        while i >= 0 and j < len(matrix[0]):
            if matrix[i][j] > target: i -= 1
            elif matrix[i][j] < target: j += 1
            else: return True
        return False
Java
class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        int i = matrix.length - 1, j = 0;
        while(i >= 0 && j < matrix[0].length)
        {
            if(matrix[i][j] > target) i--;
            else if(matrix[i][j] < target) j++;
            else return true;
        }
        return false;
    }
}
C++
class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        int i = matrix.size() - 1, j = 0;
        while(i >= 0 && j < matrix[0].size())
        {
            if(matrix[i][j] > target) i--;
            else if(matrix[i][j] < target) j++;
            else return true;
        }
        return false;
    }
};

复杂度分析:

  • 时间复杂度 $O(M+N)$ :其中,$N$ 和 $M$ 分别为矩阵行数和列数,此算法最多循环 $M+N$ 次。
  • 空间复杂度 $O(1)$ : i, j 指针使用常数大小额外空间。

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