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解题思路:

祖先的定义: 若节点 $p$ 在节点 $root$ 的左(右)子树中,或 $p = root$ ,则称 $root$ 是 $p$ 的祖先。

最近公共祖先的定义: 设节点 $root$ 为节点 $p, q$ 的某公共祖先,若其左子节点 $root.left$ 和右子节点 $root.right$ 都不是 $p,q$ 的公共祖先,则称 $root$ 是 “最近的公共祖先” 。

Picture1.png

根据以上定义,若 $root$ 是 $p, q$ 的 最近公共祖先 ,则只可能为以下情况之一:

  1. $p$ 和 $q$ 在 $root$ 的子树中,且分列 $root$ 的 异侧(即分别在左、右子树中);
  2. $p = root$ ,且 $q$ 在 $root$ 的左或右子树中;
  3. $q = root$ ,且 $p$ 在 $root$ 的左或右子树中;

Picture2.png

考虑通过递归对二叉树进行先序遍历,当遇到节点 $p$ 或 $q$ 时返回。从底至顶回溯,当节点 $p, q$ 在节点 $root$ 的异侧时,节点 $root$ 即为最近公共祖先,则向上返回 $root$ 。

递归解析:
  1. 终止条件:
    1. 当越过叶节点,则直接返回 $null$ ;
    2. 当 $root$ 等于 $p, q$ ,则直接返回 $root$ ;
  2. 递推工作:
    1. 开启递归左子节点,返回值记为 $left$ ;
    2. 开启递归右子节点,返回值记为 $right$ ;
  3. 返回值: 根据 $left$ 和 $right$ ,可展开为四种情况;
    1. 当 $left$ 和 $right$ 同时为空 :说明 $root$ 的左 / 右子树中都不包含 $p,q$ ,返回 $null$ ;
    2. 当 $left$ 和 $right$ 同时不为空 :说明 $p, q$ 分列在 $root$ 的 异侧 (分别在 左 / 右子树),因此 $root$ 为最近公共祖先,返回 $root$ ;
    3. 当 $left$ 为空 ,$right$ 不为空 :$p,q$ 都不在 $root$ 的左子树中,直接返回 $right$ 。具体可分为两种情况:
      1. $p,q$ 其中一个在 $root$ 的 右子树 中,此时 $right$ 指向 $p$(假设为 $p$ );
      2. $p,q$ 两节点都在 $root$ 的 右子树 中,此时的 $right$ 指向 最近公共祖先节点
    4. 当 $left$ 不为空 , $right$ 为空 :与情况 3. 同理;

观察发现, 情况 1. 可合并至 3.4. 内,详见文章末尾代码。

<Picture3.png,Picture4.png,Picture5.png,Picture6.png,Picture7.png,Picture8.png,Picture9.png,Picture10.png,Picture11.png,Picture12.png,Picture13.png,Picture14.png,Picture15.png,Picture16.png,Picture17.png,Picture18.png,Picture19.png,Picture20.png>

复杂度分析:
  • 时间复杂度 $O(N)$ : 其中 $N$ 为二叉树节点数;最差情况下,需要递归遍历树的所有节点。
  • 空间复杂度 $O(N)$ : 最差情况下,递归深度达到 $N$ ,系统使用 $O(N)$ 大小的额外空间。
代码:
Python
class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: TreeNode, p: TreeNode, q: TreeNode) -> TreeNode:
        if not root or root == p or root == q: return root
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        if not left: return right
        if not right: return left
        return root
Java
class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(root == null || root == p || root == q) return root;
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if(left == null) return right;
        if(right == null) return left;
        return root;
    }
}
C++
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root == nullptr || root == p || root == q) return root;
        TreeNode *left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode *right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if(left == nullptr) return right;
        if(right == nullptr) return left;
        return root;
    }
};

情况 1. , 2. , 3. , 4. 的展开写法如下。

Python
class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: TreeNode, p: TreeNode, q: TreeNode) -> TreeNode:
        if not root or root == p or root == q: return root
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        if not left and not right: return # 1.
        if not left: return right # 3.
        if not right: return left # 4.
        return root # 2. if left and right:
Java
class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(root == null || root == p || root == q) return root;
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if(left == null && right == null) return null; // 1.
        if(left == null) return right; // 3.
        if(right == null) return left; // 4.
        return root; // 2. if(left != null and right != null)
    }
}
C++
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root == nullptr || root == p || root == q) return root;
        TreeNode *left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        TreeNode *right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if(left == nullptr && right == nullptr) return nullptr; // 1.
        if(left == nullptr) return right; // 3.
        if(right == nullptr) return left; // 4.
        return root; // 2. if(left != null and right != null)
    }
};

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