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解题思路： ​

祖先的定义： 若节点 p 在节点 root 的左（右）子树中，或 p = root，则称 root 是 p 的祖先。

最近公共祖先的定义： 设节点 root 为节点 p , q 的某公共祖先，若其左子节点 root.left 和右子节点 root.right 都不是 p , q 的公共祖先，则称 root 是 “最近的公共祖先” 。

Picture1.png

根据以上定义，若 root 是 p , q 的 最近公共祖先 ，则只可能为以下三种情况之一：

  1. p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的 异侧（即分别在左、右子树中）；
  2. p = root 且 q 在 root 的左或右子树中；
  3. q = root 且 p 在 root 的左或右子树中；

Picture2.png

本题给定了两个重要条件：(1) 树为 二叉搜索树 ，(2) 树的所有节点的值都是 唯一 的。根据以上条件，可方便地判断 p , q 与 root 的子树关系，即：

  • 若 root.val < p.val ，则 p 在 root 右子树 中；
  • 若 root.val > p.val ，则 p 在 root 左子树 中；
  • 若 root.val = p.val ，则 p 和 root 指向 同一节点 ；

方法一：迭代 ​

  1. 循环搜索： 当节点 root 为空时跳出；
    1. 当 p, q 都在 root 的 右子树 中，则遍历至 root.right ；
    2. 否则，当 p , q 都在 root 的 左子树 中，则遍历至 root.left ；
    3. 否则，说明找到了 最近公共祖先 ，跳出；
  2. 返回值： 最近公共祖先 root ；

<Picture3.png,Picture4.png,Picture5.png,Picture6.png,Picture7.png,Picture8.png>

代码： ​

Python
class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        while root:
            if root.val < p.val and root.val < q.val: # p,q 都在 root 的右子树中
                root = root.right # 遍历至右子节点
            elif root.val > p.val and root.val > q.val: # p,q 都在 root 的左子树中
                root = root.left # 遍历至左子节点
            else: break
        return root
Java
class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        while(root != null) {
            if(root.val < p.val && root.val < q.val) // p,q 都在 root 的右子树中
                root = root.right; // 遍历至右子节点
            else if(root.val > p.val && root.val > q.val) // p,q 都在 root 的左子树中
                root = root.left; // 遍历至左子节点
            else break;
        }
        return root;
    }
}
C++
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        while(root != nullptr) {
            if(root->val < p->val && root->val < q->val) // p,q 都在 root 的右子树中
                root = root->right; // 遍历至右子节点
            else if(root->val > p->val && root->val > q->val) // p,q 都在 root 的左子树中
                root = root->left; // 遍历至左子节点
            else break;
        }
        return root;
    }
};

代码优化：若可保证 p.val < q.val ，则在循环中可减少判断条件，提升计算效率。

Python
class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        if p.val > q.val: p, q = q, p # 保证 p.val < q.val
        while root:
            if root.val < p.val: # p,q 都在 root 的右子树中
                root = root.right # 遍历至右子节点
            elif root.val > q.val: # p,q 都在 root 的左子树中
                root = root.left # 遍历至左子节点
            else: break
        return root
Java
class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(p.val > q.val) { // 保证 p.val < q.val
            TreeNode tmp = p;
            p = q;
            q = tmp;
        }
        while(root != null) {
            if(root.val < p.val) // p,q 都在 root 的右子树中
                root = root.right; // 遍历至右子节点
            else if(root.val > q.val) // p,q 都在 root 的左子树中
                root = root.left; // 遍历至左子节点
            else break;
        }
        return root;
    }
}
C++
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(p->val > q->val)
            swap(p, q);
        while(root != nullptr) {
            if(root->val < p->val) // p,q 都在 root 的右子树中
                root = root->right; // 遍历至右子节点
            else if(root->val > q->val) // p,q 都在 root 的左子树中
                root = root->left; // 遍历至左子节点
            else break;
        }
        return root;
    }
};

复杂度分析： ​

  • 时间复杂度 $O(N)$ ： 其中 $N$ 为二叉树节点数；每循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 $\log N$ （满二叉树），最大为 $N$ （退化为链表）。
  • 空间复杂度 $O(1)$ ： 使用常数大小的额外空间。

方法二：递归 ​

  1. 递推工作：
    1. 当 p , q 都在 root 的 右子树 中，则开启递归 root.right 并返回；
    2. 否则，当 p , q 都在 root 的 左子树 中，则开启递归 root.left 并返回；
  2. 返回值： 最近公共祖先 root ；

代码： ​

Python
class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        if root.val < p.val and root.val < q.val:
            return self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        if root.val > p.val and root.val > q.val:
            return self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        return root
Java
class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(root.val < p.val && root.val < q.val)
            return lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if(root.val > p.val && root.val > q.val)
            return lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        return root;
    }
}
C++
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root->val < p->val && root->val < q->val)
            return lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        if(root->val > p->val && root->val > q->val)
            return lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        return root;
    }
};

复杂度分析： ​

  • 时间复杂度 $O(N)$ ： 其中 $N$ 为二叉树节点数；每循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 $\log N$ （满二叉树），最大为 $N$ （退化为链表）。
  • 空间复杂度 $O(N)$ ： 最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到树的层数 $N$ 。

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