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此题为 剑指Offer 55 - I. 二叉树的深度 的拓展,建议先做上一题。

以下两种方法均基于以下性质推出: 此树的深度 等于 左子树的深度右子树的深度 中的 最大值 $+1$ 。

Picture1.png

方法一:后序遍历 + 剪枝 (从底至顶)

此方法为本题的最优解法,但剪枝的方法不易第一时间想到。

思路是对二叉树做后序遍历,从底至顶返回子树深度,若判定某子树不是平衡树则 “剪枝” ,直接向上返回。

算法流程:

recur(root) 函数:

  • 返回值:
    1. 当节点root 左 / 右子树的深度差 $\leq 1$ :则返回当前子树的深度,即节点 root 的左 / 右子树的深度最大值 $+1$ ( max(left, right) + 1 );
    2. 当节点root 左 / 右子树的深度差 $> 1$ :则返回 $-1$ ,代表 此子树不是平衡树
  • 终止条件:
    1. root 为空:说明越过叶节点,因此返回高度 $0$ ;
    2. 当左(右)子树深度为 $-1$ :代表此树的 左(右)子树 不是平衡树,因此剪枝,直接返回 $-1$ ;

isBalanced(root) 函数:

  • 返回值:recur(root) != -1 ,则说明此树平衡,返回 $true$ ; 否则返回 $false$ 。

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复杂度分析:

  • 时间复杂度 $O(N)$: $N$ 为树的节点数;最差情况下,需要递归遍历树的所有节点。
  • 空间复杂度 $O(N)$: 最差情况下(树退化为链表时),系统递归需要使用 $O(N)$ 的栈空间。

代码:

Python
class Solution:
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        def recur(root):
            if not root: return 0
            left = recur(root.left)
            if left == -1: return -1
            right = recur(root.right)
            if right == -1: return -1
            return max(left, right) + 1 if abs(left - right) <= 1 else -1

        return recur(root) != -1
Java
class Solution {
    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        return recur(root) != -1;
    }

    private int recur(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        int left = recur(root.left);
        if(left == -1) return -1;
        int right = recur(root.right);
        if(right == -1) return -1;
        return Math.abs(left - right) < 2 ? Math.max(left, right) + 1 : -1;
    }
}
C++
class Solution {
public:
    bool isBalanced(TreeNode* root) {
        return recur(root) != -1;
    }
private:
    int recur(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        int left = recur(root->left);
        if(left == -1) return -1;
        int right = recur(root->right);
        if(right == -1) return -1;
        return abs(left - right) < 2 ? max(left, right) + 1 : -1;
    }
};

方法二:先序遍历 + 判断深度 (从顶至底)

此方法容易想到,但会产生大量重复计算,时间复杂度较高。

思路是构造一个获取当前子树的深度的函数 depth(root) (即 面试题55 - I. 二叉树的深度 ),通过比较某子树的左右子树的深度差 abs(depth(root.left) - depth(root.right)) <= 1 是否成立,来判断某子树是否是二叉平衡树。若所有子树都平衡,则此树平衡。

算法流程:

isBalanced(root) 函数: 判断树 root 是否平衡

  • 特例处理: 若树根节点 root 为空,则直接返回 $true$ ;
  • 返回值: 所有子树都需要满足平衡树性质,因此以下三者使用与逻辑 $&&$ 连接;
    1. abs(self.depth(root.left) - self.depth(root.right)) <= 1 :判断 当前子树 是否是平衡树;
    2. self.isBalanced(root.left) : 先序遍历递归,判断 当前子树的左子树 是否是平衡树;
    3. self.isBalanced(root.right) : 先序遍历递归,判断 当前子树的右子树 是否是平衡树;

depth(root) 函数: 计算树 root 的深度

  • 终止条件:root 为空,即越过叶子节点,则返回高度 $0$ ;
  • 返回值: 返回左 / 右子树的深度的最大值 $+1$ 。

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复杂度分析:

  • 时间复杂度 $O(N \log N)$: 最差情况下(为 “满二叉树” 时), isBalanced(root) 遍历树所有节点,判断每个节点的深度 depth(root) 需要遍历 各子树的所有节点
    • 满二叉树高度的复杂度 $O(log N)$ ,将满二叉树按层分为 $log (N+1)$ 层;
    • 通过调用 depth(root) ,判断二叉树各层的节点的对应子树的深度,需遍历节点数量为 $N \times 1, \frac{N-1}{2} \times 2, \frac{N-3}{4} \times 4, \frac{N-7}{8} \times 8, ..., 1 \times \frac{N+1}{2}$ 。因此各层执行 depth(root) 的时间复杂度为 $O(N)$ (每层开始,最多遍历 $N$ 个节点,最少遍历 $\frac{N+1}{2}$ 个节点)。

    其中,$\frac{N-3}{4} \times 4$ 代表从此层开始总共需遍历 $N-3$ 个节点,此层共有 $4$ 个节点,因此每个子树需遍历 $\frac{N-3}{4}$ 个节点。

    • 因此,总体时间复杂度 $=$ 每层执行复杂度 $\times$ 层数复杂度 = $O(N \times \log N)$ 。

Picture2.png

  • 空间复杂度 $O(N)$: 最差情况下(树退化为链表时),系统递归需要使用 $O(N)$ 的栈空间。

代码:

Python
class Solution:
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        if not root: return True
        return abs(self.depth(root.left) - self.depth(root.right)) <= 1 and \
            self.isBalanced(root.left) and self.isBalanced(root.right)

    def depth(self, root):
        if not root: return 0
        return max(self.depth(root.left), self.depth(root.right)) + 1
Java
class Solution {
    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        if (root == null) return true;
        return Math.abs(depth(root.left) - depth(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
    }

    private int depth(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1;
    }
}
C++
class Solution {
public:
    bool isBalanced(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return true;
        return abs(depth(root->left) - depth(root->right)) <= 1 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right);
    }
private:
    int depth(TreeNode* root) {
        if (root == nullptr) return 0;
        return max(depth(root->left), depth(root->right)) + 1;
    }
};

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