解题思路： ​

若使用暴力法遍历矩阵 matrix ，则时间复杂度为 $O(NM)$ 。暴力法未利用矩阵 “从上到下递增、从左到右递增” 的特点，显然不是最优解法。

如下图所示，我们将矩阵逆时针旋转 45° ，并将其转化为图形式，发现其类似于 二叉搜索树 ，即对于每个元素，其左分支元素更小、右分支元素更大。因此，通过从 “根节点” 开始搜索，遇到比 target 大的元素就向左，反之向右，即可找到目标值 target 。

“根节点” 对应的是矩阵的 “左下角” 和 “右上角” 元素，本文称之为 标志数 ，以 matrix 中的 左下角元素 为标志数 flag ，则有:

1. 若 flag > target ，则 target 一定在 flag 所在 行的上方 ，即 flag 所在行可被消去。
2. 若 flag < target ，则 target 一定在 flag 所在 列的右方 ，即 flag 所在列可被消去。

算法流程： ​

1. 从矩阵 matrix 左下角元素（索引设为 (i, j) ）开始遍历，并与目标值对比：
   • 当 matrix[i][j] > target 时，执行 i-- ，即消去第 i 行元素；
   • 当 matrix[i][j] < target 时，执行 j++ ，即消去第 j 列元素；
   • 当 matrix[i][j] = target 时，返回 $true$ ，代表找到目标值。
2. 若行索引或列索引越界，则代表矩阵中无目标值，返回 $false$ 。

每轮 i 或 j 移动后，相当于生成了“消去一行（列）的新矩阵”， 索引(i,j) 指向新矩阵的左下角元素（标志数），因此可重复使用以上性质消去行（列）。

复杂度分析： ​

• 时间复杂度 $O(M+N)$ ：其中，$N$ 和 $M$ 分别为矩阵行数和列数，此算法最多循环 $M+N$ 次。
• 空间复杂度 $O(1)$ : i, j 指针使用常数大小额外空间。

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代码： ​

class Solution:
    def findNumberIn2DArray(self, matrix: List[List[int]], target: int) -> bool:
        i, j = len(matrix) - 1, 0
        while i >= 0 and j < len(matrix[0]):
            if matrix[i][j] > target: i -= 1
            elif matrix[i][j] < target: j += 1
            else: return True
        return False

class Solution {
    public boolean findNumberIn2DArray(int[][] matrix, int target) {
        int i = matrix.length - 1, j = 0;
        while(i >= 0 && j < matrix[0].length)
        {
            if(matrix[i][j] > target) i--;
            else if(matrix[i][j] < target) j++;
            else return true;
        }
        return false;
    }
}

class Solution {
public:
    bool findNumberIn2DArray(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        int i = matrix.size() - 1, j = 0;
        while(i >= 0 && j < matrix[0].size())
        {
            if(matrix[i][j] > target) i--;
            else if(matrix[i][j] < target) j++;
            else return true;
        }
        return false;
    }
};