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解题思路：

丑数的递推性质： 丑数只包含因子 $2, 3, 5$ ，因此有 “丑数 $=$ 某较小丑数 $\times$ 某因子” （例如：$10 = 5 \times 2$）。

设已知长度为 $n$ 的丑数序列 $x_1, x_2, \cdots , x_n$ ，求第 $n+1$ 个丑数 $x_{n+1}$ 。根根据递推性质，丑数 $x_{n+1}$ 只可能是以下三种情况其中之一（索引 $a, b, c$ 为未知数）：

$$ x_{n+1} = \begin{cases} x_{a} \times 2 & ,a \in [1, n] \ x_{b} \times 3 & ,b \in [1, n] \ x_{c} \times 5 & ,c \in [1, n] \end{cases} $$

丑数递推公式： 若索引 $a,b,c$ 满足以上条件，则下个丑数 $x_{n+1}$ 为以下三种情况中的 最小值 ；

$$ x_{n+1} = \min(x_{a} \times 2, x_{b} \times 3, x_{c} \times 5) $$

由于 $x_{n+1}$ 是 最接近 $x_n$ 的丑数，因此索引 $a, b, c$ 需满足以下条件：

$$ \begin{cases} x_{a} \times 2 > x_n \geq x_{a-1} \times 2 & ，即 x_a 为首个乘以 2 后大于 x_n 的丑数 \ x_{b} \times 3 > x_n \geq x_{b-1} \times 3 & ，即 x_b 为首个乘以 3 后大于 x_n 的丑数 \ x_{c} \times 5 > x_n \geq x_{c-1} \times 5 & ，即 x_c 为首个乘以 5 后大于 x_n 的丑数 \ \end{cases} $$

因此，可设置指针 $a,b,c$ 指向首个丑数（即 $1$ ），循环根据递推公式得到下个丑数，并每轮将对应指针执行 $+1$ 即可。

动态规划解析：

状态定义： 设动态规划列表 $dp$ ，$dp[i]$ 代表第 $i + 1$ 个丑数；
转移方程：
1. 当索引 $a, b, c$ 满足以下条件时， $dp[i]$ 为三种情况的最小值；
2. 每轮计算 $dp[i]$ 后，需要更新索引 $a, b, c$ 的值，使其始终满足方程条件。实现方法：分别独立判断 $dp[i]$ 和 $dp[a] \times 2$ , $dp[b] \times 3$ , $dp[c] \times 5$ 的大小关系，若相等则将对应索引 $a$ , $b$ , $c$ 加 $1$ ；

$$ \begin{cases} dp[a] \times 2 > dp[i-1] \geq dp[a-1] \times 2 \ dp[b] \times 3 > dp[i-1] \geq dp[b-1] \times 3 \ dp[c] \times 5 > dp[i-1] \geq dp[c-1] \times 5 \ \end{cases} $$

$$ dp[i] = \min(dp[a] \times 2, dp[b] \times 3, dp[c] \times 5) $$

初始状态： $dp[0] = 1$ ，即第一个丑数为 $1$ ；
返回值： $dp[n-1]$ ，即返回第 $n$ 个丑数；

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复杂度分析：

时间复杂度 $O(N)$ ： 其中 $N = n$ ，动态规划需遍历计算 $dp$ 列表。
空间复杂度 $O(N)$ ： 长度为 $N$ 的 $dp$ 列表使用 $O(N)$ 的额外空间。

代码：

Python

class Solution:
    def nthUglyNumber(self, n: int) -> int:
        dp, a, b, c = [1] * n, 0, 0, 0
        for i in range(1, n):
            n2, n3, n5 = dp[a] * 2, dp[b] * 3, dp[c] * 5
            dp[i] = min(n2, n3, n5)
            if dp[i] == n2: a += 1
            if dp[i] == n3: b += 1
            if dp[i] == n5: c += 1
        return dp[-1]

Java

class Solution {
    public int nthUglyNumber(int n) {
        int a = 0, b = 0, c = 0;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            int n2 = dp[a] * 2, n3 = dp[b] * 3, n5 = dp[c] * 5;
            dp[i] = Math.min(Math.min(n2, n3), n5);
            if(dp[i] == n2) a++;
            if(dp[i] == n3) b++;
            if(dp[i] == n5) c++;
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int nthUglyNumber(int n) {
        int a = 0, b = 0, c = 0;
        int dp[n];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            int n2 = dp[a] * 2, n3 = dp[b] * 3, n5 = dp[c] * 5;
            dp[i] = min(min(n2, n3), n5);
            if(dp[i] == n2) a++;
            if(dp[i] == n3) b++;
            if(dp[i] == n5) c++;
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

解题思路： ​

动态规划解析： ​

代码： ​

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动态规划解析：

代码：